Wiskundeles

De abc-formule

f(x) = ax2 + bx +c

Om de nulpunten te kunnen bepalen, die je niet kunt vinden via methode 1 (ontbinden in factoren) kun je de abc-formule gebruiken. Voor je aan de slag gaat moet je eerst iets doen aan de volgorde, waarin je de formule opschrijft. Schrijf altijd eerst (links) het kwadraat op en dus ook de plus en de min en het getal dat direct voor de x² staat. Dat schrijf je dus direct achter het = teken. Zet daarachter (in het midden dus) een min of een plus met het stuk waar een x in voorkomt. Zet daarachter (rechts) een plus of een min en het getal zonder x (de constante).
Het getal en dus ook de plus of de min, die voor de x² staat, noem je a. Het getal en de plus en de min, die voor de x staat, noem je b. Het getal rechts met de plus of de min ervoor, noem je c.
De formule van alle parabolen, die er bestaan, ziet er dan altijd zo uit: f(x) = ax² +bx +c
Er staan wel plussen in deze formule en geen minnen, maar de minnen kunnen ook voorkomen, omdat de a, de b maar ook de c een negatief getal kan voorstellen.
Om nulpunten te berekenen, moet je eerst opschrijven: f(x) = 0. Voor alle parabolen kan dat ook in een formule namelijk als volgt: : f(x) = ax² +bx +c = 0
De oplossing is: de abc-formule invullen. Zo vind je de nulpunten. Hij staat onderaan.
Voor de afleiding van de abc-formule moet je Methode 2 - Kwadraat afsplitsen gebruiken. Dat gaat hier als volgt:

• Alles delen door a. Zo krijg je: 1/a.f(x) = x² +b/a.x +c/a = 0
• De helft nemen van wat voor de x staat. Zo krijg je b/2a
• De hulp-formule uitrekenen: (x + b/2a)² = x²+ b/a.x+ b²/4a²
• Invullen in oorspronkelijke formule. Dat levert op:
• 1/a.f(x) = x² +b/a.x +c/a = (x + b/2a)² - b²/4a² + c/a = 0
• Je kunt nu de functie f(x) berekenen door alles met a te vermenigvuldigen
• Je kunt je ook direct richten op het laatste deel als je op zoek bent naar nulpunten
• Dan krijg je: (x + b/2a)² - b²/4a² + c/a = 0 en dus: (x + b/2a)² = b²/4a² - c/a
• Het rechterdeel kun je opschrijven als: = b²/4a² - 4ac/4a² = (b² -4ac)/4a²
• Nu kunnen we doorgaan met worteltrekken, want we willen eindigen met: "x ="
• Dus: x + b/2a = + 1/2a.√(b² - 4ac) OF x + b/2a = - 1/2a.√(b² - 4ac)
• Dan volgt: x₁ = - b/2a + 1/2a.√(b² - 4ac) EN x₂ = - b/2a - 1/2a.√(b² - 4ac)
• We hebben de abc-formule te pakken. Meestal wordt hij opgeschreven als volgt: